분류 전체보기 (6) 썸네일형 리스트형 입자계의 각운동량과 운동에너지 ◆ 입자계의 각운동량과 각운동량 보존법칙 (Principle of Conservation of Angular Momentum) 단일 입자의 각운동량은 \(\mathbf{L}=r \times m\mathbf{v}\) 이렇게 정의합니다. 입자계의 선운동량을 정의했던 것처럼 입자계의 각운동량도 개별 입자의 각운동량의 벡터 합으로 정의합니다. $$\mathbf{L}=\sum_{i=1}^n \mathbf{r}_i \times m_i\mathbf{v}_i$$ 벡터 곱미분을 활용해 각운동량의 시간 도함수를 구해보면 $${d\mathbf{L} \over dt} = \sum_{i=1}^n (\mathbf{v}_i \times m_i\mathbf{v}_i) +\sum_{i=1}^n (\mathbf{r}_i \times m.. 입자계의 질량중심과 선운동량 두 개 이상의 여러 입자들로 구성되었을때 운동을 어떻게 기술할지를 알아봅시다. ◆ 질량중심 (Center of Mass) 질량중심은 흔히 생각하는 무게중심(?)과 비슷합니다. 어떤 입자계에서 질량이 \( m_1, m_2, \cdots, m_n \) 인 입자가 각각 \( \mathbf{r}_1 , \mathbf{r}_2 , \cdots , \mathbf{r}_n \) 일때 질량중심 \( \mathbf{r}_{cm} \)은 $$\mathbf{r}_{cm}=\frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+\cdots+m_n\mathbf{r}_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}=\frac{\underset{i}\sum m_i\mathbf{r}_i}{m} $$ 이렇게 정의합니다. 3차원에.. 멱급수 이때까지 상수의 값을 항만으로 갖는 급수를 살펴보았습니다. 이젠 상수가 아닌 \(x\)의 함수를 항으로 갖는 급수를 이야기 해 보겠습니다. ◆ 멱급수 (Power Series) 멱급수(power series)란 \(a_nx^n\)이나 \(a_n(x-a)^n\) (a_n과 a는 상수) 를 n번째 항으로 갖는 급수를 말합니다. 정의에 의하면 멱급수는 아래 형태를 가지고 있습니다. $$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots \quad or$$ $$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+a_3(x-a)^3+\cdots$$ 여기서 계수 \(a_n\)은 상수입니다. 간단한 예시를 들어보면 $$1-\frac.. 절대수렴과 조건수렴 이전 포스팅에서 급수의 수렴 판정법을 알아봤는데 판정할 때 당연하지만 중요한 조건이 하나 있습니다. 바로 모든 항들이 양수로 이루어져있어야 한다는 것입니다. 이제 양수와 음수가 섞인 급수에 대해서 알아봅시다. ◆ 교대 급수 (Alternating Series) 교대급수(alternating series)는 양수와 음수가 섞인 항들로 구성된 급수입니다. 예를 들면 $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\cdots$$ 이런 교대 조화급수가 있습니다. 이런 교대급수에서 하는 수렴 판정법이 있습니다. 교대 급수 판정법. 교대급수의 각 항의 절댓값들이 \(0\)으로 접근하면 교대급수는 수렴한다. 즉 \(|a_.. 급수의 수렴 판정법 급수에서 수렴과 발산 여부는 굉장히 중요합니다. 발산급수에 우리가 아는 기존의 대수학을 그대로 적용시킨다면 말도 안 되는 일이 일어나기 때문에 급수가 수렴하는지 발산하는지 아는 것이 중요합니다. 이해하기 쉽게 한 가지 예를 들어 보겠습니다. 아래 급수를 가정합시다. $$S=1+2+4+8+16+\cdots$$ 그러면 $$\begin{align}&2S=2+4+8+16+\cdots=S-1\\&S=-1\end{align}$$ ??? 저 무한급수가 순식간에 -1이 되어버렸습니다 ㅋㅋㅋ. 이래서 우리가 급수를 다룰 때 수렴하는지 발산하는지는 중요한 요소중 하납니다. ◆ 양수인 항으로 구성된 급수의 수렴 판정법 본격적으로 시작하기 전에 고등학교 때 배웠던 발산 판정법을 생각해봅시다. 수리물리학에서는 사전검사(Prel.. 급수 고등학교때부터 배우던 개념이라 복습한다는 느낌으로 해봅시다. ◆ 기하 급수 (Geometric Series) 각 항에 일정한 상수를 곱해서 다음항을 만드는 수열을 기하수열이라 합니다. (등비수열) 말로 하니까 어려운데 예를 들어보면 어렵지 않습니다. $$a, ar, ar^2, ar^3,\cdots,$$ 고등학교때 많이들 본 모양이죠 기하 급수의 부분 합 \(S\) 은 $$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$ 급수의 각 항들이 기하수열을 이루면 기하급수(Geometric Series)라 하고 그 기하급수의 합은 $$S=\lim_{n \to \infty}S_n$$ 급수가 수렴하면 $$S=\frac{a}{1-r}$$ ◆ 급수의 수렴과 발산 (Convergent Series, Divergent Ser.. 이전 1 다음
